集合的划分（一）

1

数学的整数集合用字母（D）表示。

• A、M
• B、W
• C、N
• D、Z

2

（B）是第一个被提出的非欧几何。

• A、解析几何
• B、罗氏几何
• C、黎曼几何
• D、欧氏几何

3

黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有（A）直线与已知直线平行。

• A、没有直线
• B、无数条
• C、至少2条
• D、一条

4

在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。（正确）

5

代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。（错误）

集合的划分（二）

1

星期日用数学集合的方法表示是（A）。

• A、{7R|R∈Z}
• B、{5R|R∈Z}
• C、{7R|R∈N}
• D、{6R|R∈Z}

2

A={1，2}，B={3，4}，A∩B=（D）。

• A、B
• B、{1，2，3，4}
• C、A
• D、Φ

3

将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到（B）。

• A、自然数集
• B、整数集
• C、小数集
• D、无理数集

4

集合的性质有（BCD）。

• A、

封闭性

• B、

互异性

• C、

确定性

• D、

无序性

5

星期二和星期三集合的交集是空集。（正确）

6

空集属于任何集合。（错误）

集合的划分（三）

1

S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有（C）种。

• A、4
• B、2
• C、3
• D、5

2

发明直角坐标系的人是（C）。

• A、牛顿
• B、伽罗瓦
• C、笛卡尔
• D、柯西

3

如果S、M分别是两个集合，SХM{(a，b)|a∈S，b∈M}称为S与M的（B）。

• A、牛顿积
• B、笛卡尔积
• C、莱布尼茨积
• D、康拓积

4

空集是任何集合的子集。（正确）

5

任何集合都是它本身的子集。（正确）

集合的划分（四）

1

如果x∈a的等价类，则x～a，从而能够得到（B）。

• A、x∈a
• B、x的等价类=a的等价类
• C、x=a
• D、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积

2

0与{0}的关系是（C）。

• A、二元关系
• B、等价关系
• C、属于关系
• D、包含关系

3

设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的（A）。

• A、等价类
• B、等价集
• C、等价积
• D、等价转换

4

如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。（错误）

5

A∩Φ=A（错误）

等价关系（一）

1

x∈a的等价类的充分必要条件是（B）。

• A、x=a
• B、x～a
• C、x与a不相交
• D、x>a

2

设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性（C）。

• A、不可能满足
• B、一定不满足
• C、一定满足
• D、不一定满足

3

星期一到星期日可以被统称为（B）。

• A、模3剩余类
• B、模7剩余类
• C、模1剩余类
• D、模0剩余类

4

等价关系具有的性质有（BCD）。

• A、反对称性
• B、对称性
• C、反身性
• D、传递性

5

所有的二元关系都是等价关系。（错误）

6

如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。（正确）

等价关系（二）

1

设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有（C）个。

• A、13
• B、15
• C、12
• D、14

2

对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为（C）。

• A、不确定
• B、{x|x∈A}
• C、非空集
• D、空集

3

a与b被m除后余数相同的等价关系式是（A）。

• A、a-b是m的整数倍
• B、a是b的m倍
• C、a*b是m的整数倍
• D、a+b是m的整数倍

4

整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。（错误）

5

设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。（错误）

模m同余关系（一）

1

在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出（D）。

• A、a*b与c*d等价类相等
• B、a+d与c-b等价类相等
• C、a+c与d+d等价类相等
• D、a+b与c+d等价类相等

2

整数的四则运算不保“模m同余”的是（A）。

• A、除法
• B、减法
• C、加法
• D、乘法

3

如果今天是星期五，过了370天，是（D）。

• A、星期五
• B、星期三
• C、星期二
• D、星期四

4

同余理论是初等数学的核心。（正确）

5

整数的除法运算是保“模m同余”。（错误）

模m同余关系（二）

1

对任意a∈R，b∈R，有a+b=b+a=0，则b称为a的（B）。

• A、整元
• B、负元
• C、零元
• D、正元

2

Zm的结构实质是（C）。

• A、整数环
• B、m个元素
• C、模m剩余环
• D、一个集合

3

集合S上的一个（B）运算是S*S到S的一个映射。

• A、一元代数运算
• B、二元代数运算
• C、对数运算
• D、二次幂运算

4

中国剩余定理又称孙子定理。（正确）

5

如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（正确）

模m剩余类环Zm（一）

1

设R是一个环，a∈R，则a·0=（B）。

• A、1
• B、0
• C、2
• D、a

2

Z的模m剩余类环的单位元是（D）。

• A、2
• B、0
• C、3
• D、1

3

若环R满足交换律则称为（B）。

• A、单位环
• B、交换环
• C、分配环
• D、结合环

4

设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。（正确）

5

整数的加法是奇数集的运算。（错误）

模m剩余类环Zm（二）

1

设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·（-b）=（D）。

• A、-ab
• B、b
• C、a
• D、ab

2

设R是一个环，a，b∈R，则(-a)·b=（B）。

• A、ab
• B、-ab
• C、b
• D、a

3

设R是一个环，a，b∈R，则a·（-b）=（B）。

• A、ab
• B、-ab
• C、b
• D、a

4

环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。（正确）

5

Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。（正确）

环的概念

1

Z的模4剩余类环不可逆元的有（A）个。

• A、2
• B、4
• C、1
• D、3

2

在模5环中可逆元有（D）个。

• A、3
• B、1
• C、2
• D、4

3

设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）·a=（A）。

• A、-a
• B、-e
• C、e
• D、a

4

一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。（错误）

5

环的零因子是一个零元。（错误）

域的概念

1

不属于域的是（A）。

• A、(Z，+，·)
• B、(C，+，·)
• C、(R，+，·)
• D、(Q，+，·)

2

设错误是一个有单位元（不为0）的交换环，如果错误的每个非零元都是可逆元，那么称错误是一个（B）。

• A、函数
• B、域
• C、积
• D、元

3

最小的数域是（A）。

• A、有理数域
• B、整数域
• C、实数域
• D、复数域

4

整环一定是域。（错误）

5

整数环的结构（一）

1

对于a，b∈Z，如果有c∈Z，使得a=cb，称b整除a，记作（C）。

• A、b/a
• B、b&a
• C、b|a
• D、b^a

2

不属于整环的是（B）。

• A、Z[i]
• B、Z6
• C、Z
• D、Z2

3

在整数环中没有（A）。

• A、除法
• B、加法
• C、乘法
• D、减法

4

整数环是具有单位元的交换环。（正确）

5

整环是无零因子环。（正确）

整数环的结构（二）

1

能被3整除的数是（A）。

• A、102
• B、122
• C、92
• D、112

2

不能被5整除的数是（D）。

• A、220
• B、425
• C、115
• D、323

3

a与0 的一个最大公因数是（D）。

• A、2a
• B、1
• C、0
• D、a

4

整环具有的性质包括（ACD）。

• A、有单位元
• B、有零因子
• C、无零因子
• D、交换环

5

在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。（错误）

6

整除关系是等价关系。（错误）

整数环的结构（三）

1

gac(234，567)=（C）

• A、12
• B、6
• C、9
• D、3

2

对于a，b∈Z，如果有a=qb+r，d满足（B）时候是a与b的一个最大公因数。

• A、d是q与r的一个最大公因数
• B、d是b与r的一个最大公因数
• C、d是b与q的一个最大公因数
• D、d是a与r的一个最大公因数

3

若a=bq+r，则gac(a，b)=（C）。

• A、gac(b，q)
• B、gac(a，r)
• C、gac(b，r)
• D、gac(a，q)

4

0是0与0的一个最大公因数。（正确）

5

对于整数环，任意两个非0整数a，b一定具有最大公因数。（正确）

整数环的结构（四）

1

gcd(56，24)=（A）

• A、8
• B、2
• C、4
• D、1

2

如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是（D）的一个最大公因数。

• A、除数和0
• B、余数和1
• C、被除数和余数
• D、除数和余数

3

对于整数环，任意两个非0整数a，b一定具有最大公因数可以用（C）。

• A、分解法
• B、列项相消法
• C、辗转相除法
• D、十字相乘法

4

计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。（错误）

5

用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。（错误）

整数环的结构（五）

1

若a，b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有（D）个。

• A、3
• B、5
• C、4
• D、2

2

若a与b互素，有（B）。

• A、(a，b)=a
• B、(a，b)=1
• C、(a，b)=b
• D、（a，b）=0

3

由b|ac及gac(a，b)=1有（C）。

• A、a|c
• B、b|a
• C、b|c
• D、a|b

4

在Z中，若a|c，b|c，且(a，b)=1则可以a|bc.（错误）

5

任意两个非0的数不一定存在最大公因数。（错误）

整数环的结构（六）

1

p是素数，若p|ab，(p，a)=1可以推出（C）。

• A、(p，ab)=1
• B、(p，b)=1
• C、p|b
• D、p|a

2

若（a，c）=1，(b，c)=1则（ab，c）=（D）。

• A、b
• B、c
• C、a
• D、1

3

对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p，a）等于（A）。

• A、1或p
• B、p
• C、1，a，pa
• D、1

4

所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。（正确）

5

a与b互素的充要条件是存在u，v∈Z使得au+bv=1。（正确）

整数环的结构（七）

1

素数的特性之间的相互关系是（C）。

• A、单独关系
• B、不可逆
• C、等价关系
• D、不能单独运用

2

p与任意数a有（p，a）=1或p|a的关系，则p是（D）。

• A、复数
• B、实数
• C、整数
• D、素数

3

p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是（D）。

• A、复数
• B、实数
• C、整数
• D、素数

4

1不是（BCD）。

• A、有理数
• B、无理数
• C、素数
• D、合数

5

p是素数则p的正因子只有P。（错误）

6

合数都能分解成有限个素数的乘积。（正确）

Zm的可逆元（一）

1

Z6的可逆元是（A）。

• A、1
• B、3
• C、2
• D、0

2

Z8中的零因子有（C）。

• A、1、3、5、7
• B、5、6、7、8
• C、2、4、6、0
• D、1、2、3、4

3

在Zm中，等价类a与m满足（A）时可逆。

• A、互素
• B、相反数
• C、互合
• D、不互素

4

Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。（正确）

5

p是素数，则Zp一定是域。（正确）

Zm的可逆元（二）

1

不属于Z7的可逆元是（A）。

• A、7
• B、3
• C、5
• D、1

2

Z10的可逆元是（C）。

• A、10
• B、5
• C、7
• D、2

3

在Z91中等价类元素83的可逆元是（D）等价类。

• A、38
• B、19
• C、91
• D、34

4

Z91中，34是可逆元。（正确）

5

Z81中，9是可逆元。（错误）

模P剩余类域

1

任一数域的特征为（D）。

• A、1
• B、无穷
• C、e
• D、0

2

在域错误中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则错误的特征是（D）。

• A、错误
• B、p
• C、任意整数
• D、0

3

在域错误中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是（C）。

• A、合数
• B、偶数
• C、素数
• D、奇数

4

任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。（正确）

5

设域错误的单位元e，存在素数p使得pe=0。（正确）

域的特征（一）

1

域错误的特征为p，对于任一a∈错误，pa等于（D）。

• A、p
• B、a
• C、1
• D、0

2

Cpk=p(p-1)…(p-k-1)/k!，其中1<=k< p，则(K!，p)等于（D）。

• A、

p

• B、

0

• C、

kp

• D、

1

3

特征为2的域是（A）。

• A、Z2
• B、Z5
• C、Z
• D、Z3

4

设域错误的特征为3，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^2=a^2+b^2。（错误）

5

设域错误的特征为素数p，对任意的a，b∈错误，有（a+b）^p=a^p+b^p。（正确）

域的特征（二）

1

设p是素数，则（p-1）!≡（C）（modp）

• A、0
• B、p
• C、-1
• D、1

2

68^13≡（D）（mod13）

• A、67
• B、69
• C、66
• D、68

3

设p是素数，对于任一a∈Z ，ap模（B）和a同余。

• A、所有合数
• B、P
• C、所有素数
• D、a

4

设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。（正确）

5

9877是素数。（错误）

中国剩余定理（一）

1

剩余定理是（D）人发明的。

• A、古埃及
• B、古罗马
• C、古希腊
• D、中国

2

中国古代求解一次同余式组的方法是（D）。

• A、中值定理
• B、儒歇定理
• C、韦达定理
• D、孙子定理

3

首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国（A）的数学家。

• A、南宋
• B、三国
• C、汉朝
• D、唐朝

4

“韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。（正确）

5

一次同余方程组在Z中是没有解的。（错误）

中国剩余定理（二）

1

n被3，5，11除的余数分别是1，3，3且n小于100，则n=（D）。

• A、56
• B、60
• C、54
• D、58

2

n被3，4，7除的余数分别是1，3，5且n小于200，则n=（B）。

• A、177
• B、187
• C、170
• D、180

3

最早给出一次同余方程组抽象算法的是（A）。

• A、秦九识
• B、孙武
• C、牛顿
• D、祖冲之

4

一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。（正确）

5

欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。（正确）

欧拉函数（一）

1

Z3的可逆元个数是（A）。

• A、2
• B、0
• C、3
• D、1

2

Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于（C）。

• A、1
• B、p
• C、p-1
• D、0

3

φ(m)等于（D）。

• A、集合{1，2…m-1}中奇数的整数的个数
• B、集合{1，2…m-1}中与m互为合数的整数的个数
• C、集合{1，2…m-1}中偶数的整数的个数
• D、集合{1，2…m-1}中与m互素的整数的个数

4

求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。（错误）

5

在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。（正确）

欧拉函数（二）

1

φ(4)=（A）

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

2

当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于（C）。

• A、10
• B、7
• C、8
• D、2

3

设p为素数，r为正整数，Ω={1，2，3，…pr}中与pr不互为素数的整数个数有（D）个。

• A、p
• B、r
• C、pr
• D、pr-1

4

φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)（错误）

5

设p是素数，则φ(p)=p。（错误）

欧拉函数（三）

1

φ(12)=（B）

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

2

φ(10)=（B）

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

3

Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的（B）。

• A、算术积
• B、直和
• C、集合
• D、平方积

4

φ(24)=φ(4)φ(6)（错误）

5

设m1，m2为素数，则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。（正确）

欧拉函数（四）

1

Φ(3)Φ(4)=（D）

• A、Φ(3)
• B、Φ(4)
• C、Φ(24)
• D、Φ(12)

2

Φ(7）=（D）

• A、Φ(1)Φ(6)
• B、Φ(2)Φ(5)
• C、Φ(3)Φ(4)
• D、Φ(2)Φ(9)

3

有序元素对相等的映射是一个（D）。

• A、散射
• B、不对等映射
• C、不完全映射
• D、单射

4

Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。（正确）

5

Φ(4)=Φ(2)Φ(2)（错误）

欧拉函数（五）

1

a是Zm的可逆元的等价条件是（C）。

• A、σ（a）是Zm的元素
• B、σ（a）是Zm1的元素
• C、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元
• D、σ（a）是Zm2的元素

2

若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是（A）。

• A、双射
• B、不完全映射
• C、互补映射
• D、集体映射

3

单射在满足（D）时是满射。

• A、两集合元素不相等
• B、两集交集为空集
• C、两集合交集不为空集
• D、两集合元素个数相等

4

属于单射的是（A）。

• A、x →2x + 1
• B、x →x^3 − x
• C、x → e^x
• D、x → ln x

5

数学上可以分三类函数包括（ACD）。

• A、单射
• B、反射
• C、满射
• D、双射

6

对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。（正确）

7

映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。（正确）

欧拉函数（六）

1

根据欧拉方程的算法φ(1800)等于（A）。

• A、480
• B、1800
• C、180
• D、960

2

属于双射的是（A）。

• A、x →2x + 1
• B、x → cosx
• C、x → e^x
• D、x → x^2

3

不属于满射的是（B）。

• A、x →2x + 1
• B、x → x^2
• C、x → x-1
• D、x → x+1

4

既是单射又是满射的映射称为双射。（正确）

5

x → ln x不是单射。（错误）

环的同构（一）

1

环R与环S同构，若R是除环则S（A）。

• A、一定是除环
• B、不一定是除环
• C、可能是除环
• D、不可能是除环

2

环R与环S同构，若R是域则S（A）。

• A、一定是域
• B、不一定是域
• C、可能是域
• D、不可能是域

3

环R与环S同构，若R是整环则S（A）。

• A、一定是整环
• B、不一定是整环
• C、可能是整环
• D、不可能是整环

4

同构映射有保加法和除法的运算。（错误）

5

环R与环S同构，则R、S在代数性质上完全一致。（正确）

环的同构（二）

1

Z7中4的平方根有几个（A）。

• A、2
• B、0
• C、3
• D、1

2

Z77中4的平方根有（B）个。

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

3

二次多项式x2-a在Zp中至多有（D）根。

• A、一个
• B、不存在
• C、无穷多个
• D、两个

4

在Z77中，6是没有平方根的。（正确）

5

Z7和Z11的直和，与Z77同构。（正确）

Z﹡m的结构（一）

1

Z12*=（B）

• A、{3，5，7，11}
• B、{1，5，7，11}
• C、{1，5，9，11}
• D、{1，2，5，7}

2

当群G满足（C）时，称群是一个交换群。

• A、减法交换律
• B、加法交换律
• C、乘法交换律
• D、除法交换律

3

非空集合G中定义了乘法运算，如有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有（B）。

• A、

无数个

• B、

有且只有1一个

• C、

2个

• D、

无法确定

4

群具有的性质包括（ABC）。

• A、

结合律

• B、

有逆元

• C、

有单位元

• D、

分配律

5

在Z12*所有元素的逆元都是它本身。（正确）

6

Z12*是保加法运算。（错误）

Z﹡m的结构（二）

1

Z12*的阶为（B）。

• A、8
• B、4
• C、6
• D、2

2

若a∈Z9*，且为交换群，那么a的（C）次方等于单位元。

• A、任意次方
• B、3
• C、6
• D、1

3

Zm*的结构可以描述成（B）。

• A、阶为φ(m)的交换环
• B、阶为φ(m)的交换群
• C、阶为φ(m)的交换类
• D、阶为φ(m)的交换域

4

Z5关于剩余类的乘法构成一个群。（错误）

5

Zm*是一个交换群。（正确）

Z﹡m的结构（三）

1

Z9*中满足7n=e的最小正整数是（C）。

• A、4
• B、1
• C、3
• D、6

2

Z5*中2的阶是（B）。

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

3

Z5*中3的阶是（B）。

• A、2
• B、4
• C、3
• D、1

4

设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。（正确）

5

在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。（错误）